3.800 \(\int \frac{1}{(a+b \sin (e+f x))^{5/2} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=941 \[ \frac{4 \left (-5 d a^2+2 b c a+3 b^2 d\right ) \cos (e+f x) b^2}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \cos (e+f x) b^2}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{8 \left (c d^4 a^5-b \left (3 c^2 d^3-2 d^5\right ) a^4-2 b^2 c d^4 a^3-b^3 d \left (3 c^4-12 d^2 c^2+7 d^4\right ) a^2+b^4 c \left (c^4-2 d^2 c^2+2 d^4\right ) a+b^5 d \left (2 c^4-7 d^2 c^2+4 d^4\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} \left (a^2-b^2\right ) (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^5 f}-\frac{2 \left (d^3 (3 c+d) a^4-9 b d^2 \left (c^2-d^2\right ) a^3+b^2 d \left (9 c^3-18 d c^2-15 d^2 c+16 d^3\right ) a^2-3 b^3 \left (c^4-5 d^2 c^2+4 d^4\right ) a+b^4 \left (c^4-9 d c^3+16 d^2 c^2+12 d^3 c-16 d^4\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} \left (a^2-b^2\right ) (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^4 f}-\frac{2 d \left (d^3 a^4+b^2 d \left (11 c^2-13 d^2\right ) a^2-4 b^3 c \left (c^2-d^2\right ) a-b^4 d \left (7 c^2-8 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}} \]

[Out]

(2*b^2*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*
b^2*(2*a*b*c - 5*a^2*d + 3*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c +
d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*d*(a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(11*c^2 - 13*d^2) - b^4*d*(7*c^2 - 8*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2
- d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*
x])^(3/2)) - (8*(a^5*c*d^4 - 2*a^3*b^2*c*d^4 + a*b^4*c*(c^4 - 2*c^2*d^2 + 2*d^4) + b^5*d*(2*c^4 - 7*c^2*d^2 +
4*d^4) - a^2*b^3*d*(3*c^4 - 12*c^2*d^2 + 7*d^4) - a^4*b*(3*c^2*d^3 - 2*d^5))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqr
t[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f
*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x
]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*
(b*c - a*d)^5*f) - (2*(a^4*d^3*(3*c + d) - 9*a^3*b*d^2*(c^2 - d^2) + a^2*b^2*d*(9*c^3 - 18*c^2*d - 15*c*d^2 +
16*d^3) + b^4*(c^4 - 9*c^3*d + 16*c^2*d^2 + 12*c*d^3 - 16*d^4) - 3*a*b^3*(c^4 - 5*c^2*d^2 + 4*d^4))*EllipticF[
ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a -
b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(
c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 4.47217, antiderivative size = 941, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.172, Rules used = {2802, 3055, 2998, 2818, 2996} \[ \frac{4 \left (-5 d a^2+2 b c a+3 b^2 d\right ) \cos (e+f x) b^2}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \cos (e+f x) b^2}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{8 \left (c d^4 a^5-b \left (3 c^2 d^3-2 d^5\right ) a^4-2 b^2 c d^4 a^3-b^3 d \left (3 c^4-12 d^2 c^2+7 d^4\right ) a^2+b^4 c \left (c^4-2 d^2 c^2+2 d^4\right ) a+b^5 d \left (2 c^4-7 d^2 c^2+4 d^4\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} \left (a^2-b^2\right ) (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^5 f}-\frac{2 \left (d^3 (3 c+d) a^4-9 b d^2 \left (c^2-d^2\right ) a^3+b^2 d \left (9 c^3-18 d c^2-15 d^2 c+16 d^3\right ) a^2-3 b^3 \left (c^4-5 d^2 c^2+4 d^4\right ) a+b^4 \left (c^4-9 d c^3+16 d^2 c^2+12 d^3 c-16 d^4\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} \left (a^2-b^2\right ) (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^4 f}-\frac{2 d \left (d^3 a^4+b^2 d \left (11 c^2-13 d^2\right ) a^2-4 b^3 c \left (c^2-d^2\right ) a-b^4 d \left (7 c^2-8 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/((a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)),x]

[Out]

(2*b^2*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (4*
b^2*(2*a*b*c - 5*a^2*d + 3*b^2*d)*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c +
d*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (2*d*(a^4*d^3 + a^2*b^2*d*(11*c^2 - 13*d^2) - b^4*d*(7*c^2 - 8*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2
- d^2))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*
x])^(3/2)) - (8*(a^5*c*d^4 - 2*a^3*b^2*c*d^4 + a*b^4*c*(c^4 - 2*c^2*d^2 + 2*d^4) + b^5*d*(2*c^4 - 7*c^2*d^2 +
4*d^4) - a^2*b^3*d*(3*c^4 - 12*c^2*d^2 + 7*d^4) - a^4*b*(3*c^2*d^3 - 2*d^5))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqr
t[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f
*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x
]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*
(b*c - a*d)^5*f) - (2*(a^4*d^3*(3*c + d) - 9*a^3*b*d^2*(c^2 - d^2) + a^2*b^2*d*(9*c^3 - 18*c^2*d - 15*c*d^2 +
16*d^3) + b^4*(c^4 - 9*c^3*d + 16*c^2*d^2 + 12*c*d^3 - 16*d^4) - 3*a*b^3*(c^4 - 5*c^2*d^2 + 4*d^4))*EllipticF[
ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a -
b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)*(
c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^4*f)

Rule 2802

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -S
imp[(b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 -
b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n
*Simp[a*(b*c - a*d)*(m + 1) + b^2*d*(m + n + 2) - (b^2*c + b*(b*c - a*d)*(m + 1))*Sin[e + f*x] - b^2*d*(m + n
+ 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &
& NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !
(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3055

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), x] + Dis
t[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*(b
*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(b*
c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && Lt
Q[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&
!IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{(a+b \sin (e+f x))^{5/2} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{2 \int \frac{-\frac{3}{2} \left (a b c-a^2 d+2 b^2 d\right )+\frac{1}{2} b (b c-3 a d) \sin (e+f x)+2 b^2 d \sin ^2(e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)}\\ &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{4 b^2 \left (2 a b c-5 a^2 d+3 b^2 d\right ) \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{4 \int \frac{\frac{1}{4} \left (-6 a^3 b c d+14 a b^3 c d+3 a^4 d^2+3 a^2 b^2 \left (c^2-13 d^2\right )+b^4 \left (c^2+24 d^2\right )\right )-\frac{1}{2} b \left (5 a^2 b c d-5 b^3 c d+3 a^3 d^2-a b^2 \left (2 c^2+d^2\right )\right ) \sin (e+f x)-b^2 d \left (2 a b c-5 a^2 d+3 b^2 d\right ) \sin ^2(e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2}\\ &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{4 b^2 \left (2 a b c-5 a^2 d+3 b^2 d\right ) \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{2 d \left (a^4 d^3+a^2 b^2 d \left (11 c^2-13 d^2\right )-b^4 d \left (7 c^2-8 d^2\right )-4 a b^3 c \left (c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{8 \int \frac{-\frac{3}{8} \left (3 a^5 c d^3+3 a^3 b^2 c d \left (3 c^2-5 d^2\right )-3 a b^4 c d \left (3 c^2-4 d^2\right )-b^5 \left (c^4+16 c^2 d^2-16 d^4\right )-a^4 b \left (9 c^2 d^2-8 d^4\right )-a^2 b^3 \left (3 c^4-33 c^2 d^2+28 d^4\right )\right )-\frac{3}{8} \left (3 a^4 b c d^3-a^5 d^4+a^3 b^2 d^2 \left (9 c^2-7 d^2\right )+3 a^2 b^3 c d \left (3 c^2-5 d^2\right )-3 b^5 c d \left (3 c^2-4 d^2\right )-a b^4 \left (4 c^4+c^2 d^2-4 d^4\right )\right ) \sin (e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{9 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2-d^2\right )}\\ &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{4 b^2 \left (2 a b c-5 a^2 d+3 b^2 d\right ) \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{2 d \left (a^4 d^3+a^2 b^2 d \left (11 c^2-13 d^2\right )-b^4 d \left (7 c^2-8 d^2\right )-4 a b^3 c \left (c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{\left (a^4 d^3 (3 c+d)-9 a^3 b d^2 \left (c^2-d^2\right )+a^2 b^2 d \left (9 c^3-18 c^2 d-15 c d^2+16 d^3\right )+b^4 \left (c^4-9 c^3 d+16 c^2 d^2+12 c d^3-16 d^4\right )-3 a b^3 \left (c^4-5 c^2 d^2+4 d^4\right )\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{3 (a-b) (a+b)^2 (c-d)^2 (c+d) (b c-a d)^3}+\frac{\left (4 \left (a^5 c d^4-2 a^3 b^2 c d^4+a b^4 c \left (c^4-2 c^2 d^2+2 d^4\right )+b^5 d \left (2 c^4-7 c^2 d^2+4 d^4\right )-a^2 b^3 d \left (3 c^4-12 c^2 d^2+7 d^4\right )-a^4 b \left (3 c^2 d^3-2 d^5\right )\right )\right ) \int \frac{1+\sin (e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (c-d)^2 (c+d) (b c-a d)^3}\\ &=\frac{2 b^2 \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{4 b^2 \left (2 a b c-5 a^2 d+3 b^2 d\right ) \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{2 d \left (a^4 d^3+a^2 b^2 d \left (11 c^2-13 d^2\right )-b^4 d \left (7 c^2-8 d^2\right )-4 a b^3 c \left (c^2-d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{8 \left (a^5 c d^4-2 a^3 b^2 c d^4+a b^4 c \left (c^4-2 c^2 d^2+2 d^4\right )+b^5 d \left (2 c^4-7 c^2 d^2+4 d^4\right )-a^2 b^3 d \left (3 c^4-12 c^2 d^2+7 d^4\right )-a^4 b \left (3 c^2 d^3-2 d^5\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 (a-b) (a+b)^{3/2} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^5 f}-\frac{2 \left (a^4 d^3 (3 c+d)-9 a^3 b d^2 \left (c^2-d^2\right )+a^2 b^2 d \left (9 c^3-18 c^2 d-15 c d^2+16 d^3\right )+b^4 \left (c^4-9 c^3 d+16 c^2 d^2+12 c d^3-16 d^4\right )-3 a b^3 \left (c^4-5 c^2 d^2+4 d^4\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 (a-b) (a+b)^{3/2} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^4 f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 8.60211, size = 2639, normalized size = 2.8 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[1/((a + b*Sin[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]*((-2*b^4*Cos[e + f*x])/(3*(a^2 - b^2)*(-(b*c) + a*d)^3*(a +
b*Sin[e + f*x])^2) + (8*(a*b^5*c*Cos[e + f*x] - 3*a^2*b^4*d*Cos[e + f*x] + 2*b^6*d*Cos[e + f*x]))/(3*(a^2 - b
^2)^2*(-(b*c) + a*d)^4*(a + b*Sin[e + f*x])) - (2*d^4*Cos[e + f*x])/(3*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)*(c + d*Sin[e
+ f*x])^2) + (8*(-3*b*c^2*d^4*Cos[e + f*x] + a*c*d^5*Cos[e + f*x] + 2*b*d^6*Cos[e + f*x]))/(3*(b*c - a*d)^4*(c
^2 - d^2)^2*(c + d*Sin[e + f*x]))))/f + ((-4*(-(b*c) + a*d)*(3*a^2*b^4*c^6 + b^6*c^6 - 12*a^3*b^3*c^5*d + 8*a*
b^5*c^5*d + 18*a^4*b^2*c^4*d^2 - 41*a^2*b^4*c^4*d^2 + 15*b^6*c^4*d^2 - 12*a^5*b*c^3*d^3 + 48*a^3*b^3*c^3*d^3 -
28*a*b^5*c^3*d^3 + 3*a^6*c^2*d^4 - 41*a^4*b^2*c^2*d^4 + 74*a^2*b^4*c^2*d^4 - 32*b^6*c^2*d^4 + 8*a^5*b*c*d^5 -
28*a^3*b^3*c*d^5 + 16*a*b^5*c*d^5 + a^6*d^6 + 15*a^4*b^2*d^6 - 32*a^2*b^4*d^6 + 16*b^6*d^6)*Sqrt[((c + d)*Cot
[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e +
f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]
^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi
/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Si
n[e + f*x]]) - 4*(-(b*c) + a*d)*(4*a*b^5*c^6 - 8*a^2*b^4*c^5*d + 8*b^6*c^5*d - 12*a^3*b^3*c^4*d^2 - 12*a^4*b^2
*c^3*d^3 + 40*a^2*b^4*c^3*d^3 - 28*b^6*c^3*d^3 - 8*a^5*b*c^2*d^4 + 40*a^3*b^3*c^2*d^4 - 20*a*b^5*c^2*d^4 + 4*a
^6*c*d^5 - 20*a^2*b^4*c*d^5 + 16*b^6*c*d^5 + 8*a^5*b*d^6 - 28*a^3*b^3*d^6 + 16*a*b^5*d^6)*((Sqrt[((c + d)*Cot[
(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f
*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^
4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/
2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]) - (Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcS
in[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*
d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a +
b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*
d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + 2*(-4*a*b^5*c^5*d + 12*a^2*b^4*c^4*d^2
- 8*b^6*c^4*d^2 + 8*a*b^5*c^3*d^3 + 12*a^4*b^2*c^2*d^4 - 48*a^2*b^4*c^2*d^4 + 28*b^6*c^2*d^4 - 4*a^5*b*c*d^5 +
8*a^3*b^3*c*d^5 - 8*a*b^5*c*d^5 - 8*a^4*b^2*d^6 + 28*a^2*b^4*d^6 - 16*b^6*d^6)*((Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[
e + f*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]*EllipticE[Ar
cSin[(Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2])/Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]], (2*(-(b*c) + a*d))/
((a - b)*(c + d))]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*d*Sqrt[((a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(a + b*Sin[e + f*x
])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c + d)*(
a + b*Sin[e + f*x]))]) - (2*(-(b*c) + a*d)*((((a + b)*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c +
d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2
]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/
2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e +
f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((b*c + a*d)*Sq
rt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b
)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c
+ d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/
(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*
Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(b*d)))/(3*(a - b)^2*(a + b)^2*(c - d)^2*(c + d)^2*(-(b*c
) + a*d)^4*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 18.731, size = 1123207, normalized size = 1193.6 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{1}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(1/((b*sin(f*x + e) + a)^(5/2)*(d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{\sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{b^{3} d^{3} \cos \left (f x + e\right )^{6} - 3 \,{\left (b^{3} c^{2} d + 3 \, a b^{2} c d^{2} +{\left (a^{2} b + b^{3}\right )} d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} -{\left (a^{3} + 3 \, a b^{2}\right )} c^{3} - 3 \,{\left (3 \, a^{2} b + b^{3}\right )} c^{2} d - 3 \,{\left (a^{3} + 3 \, a b^{2}\right )} c d^{2} -{\left (3 \, a^{2} b + b^{3}\right )} d^{3} + 3 \,{\left (a b^{2} c^{3} +{\left (3 \, a^{2} b + 2 \, b^{3}\right )} c^{2} d +{\left (a^{3} + 6 \, a b^{2}\right )} c d^{2} +{\left (2 \, a^{2} b + b^{3}\right )} d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} -{\left (3 \,{\left (b^{3} c d^{2} + a b^{2} d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} +{\left (3 \, a^{2} b + b^{3}\right )} c^{3} + 3 \,{\left (a^{3} + 3 \, a b^{2}\right )} c^{2} d + 3 \,{\left (3 \, a^{2} b + b^{3}\right )} c d^{2} +{\left (a^{3} + 3 \, a b^{2}\right )} d^{3} -{\left (b^{3} c^{3} + 9 \, a b^{2} c^{2} d + 3 \,{\left (3 \, a^{2} b + 2 \, b^{3}\right )} c d^{2} +{\left (a^{3} + 6 \, a b^{2}\right )} d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sin \left (f x + e\right )}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)/(b^3*d^3*cos(f*x + e)^6 - 3*(b^3*c^2*d + 3*a*b^2*c
*d^2 + (a^2*b + b^3)*d^3)*cos(f*x + e)^4 - (a^3 + 3*a*b^2)*c^3 - 3*(3*a^2*b + b^3)*c^2*d - 3*(a^3 + 3*a*b^2)*c
*d^2 - (3*a^2*b + b^3)*d^3 + 3*(a*b^2*c^3 + (3*a^2*b + 2*b^3)*c^2*d + (a^3 + 6*a*b^2)*c*d^2 + (2*a^2*b + b^3)*
d^3)*cos(f*x + e)^2 - (3*(b^3*c*d^2 + a*b^2*d^3)*cos(f*x + e)^4 + (3*a^2*b + b^3)*c^3 + 3*(a^3 + 3*a*b^2)*c^2*
d + 3*(3*a^2*b + b^3)*c*d^2 + (a^3 + 3*a*b^2)*d^3 - (b^3*c^3 + 9*a*b^2*c^2*d + 3*(3*a^2*b + 2*b^3)*c*d^2 + (a^
3 + 6*a*b^2)*d^3)*cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e)), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))**(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{1}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(1/((b*sin(f*x + e) + a)^(5/2)*(d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)), x)